Розглянемо задачу
У вазі лежать 3 яблука і 2 груші – усі різних сортів. Скількома способами можна вибрати 1)один із фруктів; 2)пару з одного яблука і однієї груші?
Існує два основних закони комбінаторики – правило суми і правило добутку:
якщо елемент множини А можна вибрати m способами, а після цього елемент множини В вибрати n способами, то
елемент множини А або В можна вибрати (m+n) способами
пару елементів множин А і В можна вибрати (m∙n) способами.
В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?
Розв'язок. Виберемо чашку. У комплекті з нею можна вибрати будь-яке з трьох блюдець. Тому є три різні комплекти, які мають вибрану чашку. Оскільки чашок всього 5, то кількість різних комплектів дорівнює 15. (15 = 5∙3).
2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?
Розв'язок. Виберемо будь-який з 15 комплектів попередньої задачі. Його можна доповнити ложкою чотирма різними способами. Тому загальна кількість мождивих комплектів дорівнює 60 (60 = 15∙4 = 5∙3∙4).
3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В – 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?
Розв 'язок. 24 = 6∙4.
4. В Країні Чудес є чотири міста: А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома способами можна тепер добратися з міста А в місто В?
Розв 'язок. Виділимо 2 випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г. У кожному з цих випадків легко порахувати кількість різних маршрутів: в першому – 24, у другому – 6. Додаючи, отримаємо загальну кількість маршрутів: 30.
5. В магазині "Все до чаю" , як і раніше, продається 5 чашок, 3 блюдця та 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?
Розв'язок. Можливі три різні випадки: перший – купується чашка з блюдцем, другий – чашка з ложкою, третій – блюдце та ложка. У кожному з цих випадків легко порахувати кількість можливих варіантів (в першому – 15, у другому – 20, у третьому – 12). Додаючи, отримуємо загальну кількість можливих варіантів: 47.
6. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 4-цифрових "симпатичних" чисел?
Розв'язок. Зрозуміло, що одноцифрових "симпатичних" чисел рівно 5. До кожного одноцифрового "симпатичного" числа друга непарна цифра може бути дописана п'ятьма різними способами. Таким чином, двоцифрових "симпатичних" чисел 5∙5 = 25. Аналогічно, три цифрових "симпатичних" чисел 5∙5∙5 = 125, а чотирицифрових – 5∙5∙5∙5 = 625.
Зауваження. В цій задачі розв'язок має вигляд mn. До такого розв'язку приводять задачі, в котрих на кожному з n місць може бути поставлений елемент з деякої m-елементної множини. Ці задачі часто спричиняють труднощі у школярів, які не завжди розуміють, яке з чисел є основою степеня, а яке показник.
Запропонуємо ще чотири подібні задачі.
7. Монету кидають тричі. Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати? Відповідь: 23=8.
8. Кожну клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбувати в чорний або білий колір. Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?
Відповідь: 24 = 16.
9. Скількома способами можна заповнити одну картку в лотереї "Спорт прогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти. спортивних матчів. Підсумок кожного матчу – перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)
Відповідь: 213.
10. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В. Слово – будь-яка послідовність, яка складається не більше як з 4 літер. Скільки слів в мові племені Мумбо-Юмбо?
Вказівка. Підрахуйте окремо кількість одно-, дво-, три- та чотирилітерних слів.
Розв 'язок. 31+ 32 + 33 + 34 = 120.
Перейдемо до другого циклу задач.
11. У футбольній команді (11 чоловік) треба, вибрати капітана та його заступника. Скількома способами це можна зробити?
Розв 'язок. Капітаном може стати будь-хто з 11 футболістів. Після обрання капітана на роль заступника можуть претендувати 10 чоловік, які залишилися. Таким чином, всього є 11∙10 = 110 різних варіантів виборів.
Ця задача відрізняється від попередньої тим, що вибір капітана обмежує коло претендентів на роль заступника: капітан не може бути своїм заступником. Таким чином, вибори капітана та його заступника не виявляються незалежними такими, як, наприклад, вибори чашки та блюдця в задачі 1.
Ось ще чотири задачі на цю тему.
12. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?
Ров'язок. Колір для верхньої смуги прапору можна вибрати шістьма різними способами. Після цього для середньої смуги прапора залишається п'ять можливих кольорів, а потім для нижньої смуги прапора – чотири різні кольори. Таким чином, прапор можна зробити 6∙5∙4 = 120 способами.
13. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну тури так, щоб вони не били одна одну?
Розв'язок. Білу туру можна поставити на будь-яку з 64 кліток. Незалежно від розташування вона б'є 15 полів (включаючи поле, на якому вона стоїть.). Тому залишається 49 полів, на які можна поставити чорну туру. Таким чином, всього 64∙49 = 3136 різних способів.